扑克裡的数学

转自：http://blog.xpuke.com/?97397

在开始今天的教学之前，先分享一个PokerStars上新的锦标赛-限时锦标赛，比赛时间长度固定（最少15分钟，最多180分钟不等），结束后按照当时玩家的筹码比例决定名次，同时分配比赛奖金。有兴趣的朋友，可以在PokerStars软体大厅「锦标赛」标籤下寻找。

今天要谈的是，扑克裡的数学。

扑克需要的技巧有三项：逻辑、心理和机率，今天我们来谈谈扑克裡面比较数学的部分，也就是机率。首先，我们先介绍几个常见的词彙。

Pot odds: 这是指当对手下注时，你需要多少 % 的胜率才能有利益的跟注。举个例子会比较好懂，假设 pot 裡面有 10 元，这时对手下注 10 元，你决定要跟注10元。所以一旦你赢了是赢到 20元，而输了你就会失去跟注的 10元。因此你的手牌需要的胜率x是 (10+10)x - 10(1-x) >0, 算一下 x> 0.333, 也就是 33.3%.我们可以把这个结果当成一个指标，每当对手下注 pot size 的时候，我们需要33.3% 的胜率才能有利益的跟注。当对手下少于 pot size 的时候，你只需要少于33.3%的胜率就能跟注了。

Implied Pot odds: 这指的是虽然你可能在当下的跟注并不符合 pot odds(也就是你的跟注是没有即刻的利益), 但是在后面的 street一旦你的手牌完成了，你可以从你的对手榨取很多的筹码，这时候的跟注我们称做是为了 implied pot odds. 最常见的例子是在 preflop 的时候拿著小对子跟注，假设对手是 AA 我们的跟注当下是不符合 pot odds 的，但是一旦我们可以抽奖中 set, 对手会付出非常可观的代价。

Fold equity: 每当你下注，你期待对手可能会盖掉他的手牌，也就是他放弃了他在这个 pot 中所分享的 equity, fold equity 就是你期待他盖牌而让你所得到的 equity。定义是 "(对手可能盖牌的机率) * (他在这个 pot 中有的 equity)"

因此每当你下注你可以把自己总体的 equity 看成是 目前的equity + fold equity举个例子：假设你手上拿著 A8o 在 KQ7r board 对著 22 c-bet, 那你可以想像成你有 28.2%+ 80%*71.7%= 85.6% 的 equity.(这裡我们假设对手有 80% 的可能会在这个 board 上盖掉他的 22.)

从上述的内容我们可以得到两点结论：

1、你必须要下注或者加注才能得到所谓的 fold equity, 因为很显然的你不下注对手没办法盖牌。

2、 fold equity 是本身对对手的判断的产物，因此在下注时除了牌面和对对手的手牌判断以外，对手的个性也是要纳入考量的一个要点。如果对手是个 calling station 那麽基本上你对他是没有所谓的 fold equity 存在的。

好了，现在我们有了以上几个名词的基本了解，接下来我们来看看实际上是如何在一个牌局进行以上面的概念来进行思考：

NLH 1/2 6max 100BB deep, UTG的玩家 raise到6元，fold到我们在 button拿著7h8h,此时我们决定跟注。虽然我们的手牌对上大部分的 UTG range 都不符合当下的 pot odds.(各位可以自己算一算，此时需要的 pot odds 是40%, 要连盲注一同计算)但是跟这类的同花连牌主要是为了它的 implied odds, 同时我们拥有之后所有 streets最绝对的位置优势button. 假设大盲和小盲都盖帽，flop是 4c5dJh (pot=15), 我们有 gut shot to the nuts, 还有 back door flush draw, 对上合理的 UTG range, 我们大概有 32% 左右的 equity.(这裡我是假设 UTG open 12%的牌并且在这个 board 上c-bet 他range裡所有的牌，因为这是一个很乾的 board, 因此这个假设是合理的。)UTG c-bet 10,此时我们需要的pot odds 为 28.6%(10/(10+10+15)), 也就是说我们在这边的跟注是合乎pot odds 的。我在这裡几乎总是会跟注，除了我们可以有利益的跟注以外，最主要的原因是我不希望在这个 flop 上面再被 reraise而我们必须要放弃这个 pot. 如果要 raise 我会选择没有 back door flush 的board, 比如说是 4c5cJd 这类我们 equity 不好同时也没什麽 turn card 好期待的board. 假设TURN 是 9h (pot=35),我们这时候得到了非常多的 equity, 任何的红心， 6和T都是合理的 outs. 对手持续开火 25,我们在这个 turn 对上 made hand 的 equity大约是 33%左右.也就是说我们还是可以合乎 pot odds 的跟注。我们来试试看 raise 这个选项：双方都是 100BB deep,这时我们raise到77. 假设对手不是 fold 就是 all in, 现在的问题是他要多常fold 我们才能让这个 play 有利益?接下来会有些数学，请有点耐性。

首先我们先来看一个有点糟的情况，假设对方发狂 reraise all in, 这时候我们应不应该跟?在裡面的 dead money有35+25+77+159=296,我们后面剩下107.所以我们要 call 107 来赢 296, 我们需要 26.5% 才能 break even. 对上对手合理的 RRAI 的 range 我们大约有 31% 的equity. 因此一旦你做了这个 semi-bluff 你就没办法回头必须要跟到底了。

现在我们来看他要多常 fold 我们才能让这个 play 有利益。pot 35, 对手下注 25, 因此 dead money 为60, 我们 raise到77, 假设对手fold的机率 x, all in (1-x), 当对手fold时，我们可以得到 60*x; 当对手 all in我们有31%的机会能赢，我们可以得到 219*(1-x)*31%; 当对手 all in 我们有69%的时候会输，我们会失去184*(1-x)*69%(因为对手 all in 后我们也是要 call, 所以虽然我们raise到77但实际上我们是 risk 184 to win 403-184=219).因此要让这个 play 有利益，得到-失去>0, 最后你会得出x为49.6%，也就是说对手要盖超过49.6%,这就会是一个赚钱的play。当然在实战的时候我们无法做这麽麻烦的计算，我只是让大家有点数学在扑克中是如何进行的感觉。同时也请不要误会，一个+EV 的play未必是最好的play,这边我们虽然要让对手fold超过49.6%就可以获得利益，但是依照对手不同的习性，你应该做不同的选择。比如说对手是个不愿意fold TJ 的 donkey,你何必在自己只有 31% equity 的情况下和他 all in 呢? 既然他是个 donkey 那你更可以在 river draw 到的时候好好的 value bet 他一番。

相信你很常会听到以下的这句话积极的扑克是致胜的扑克(aggressive poker is winning poker)，这在数学上也可以获得佐证，每当你下注或者加注，你可以得到额外的 fold equity, 只要使用得当，长期下这些累积得到的 equity 就会反应在你的win rate上。当然，如何才能使用得当是要我们好好努力学习的。